物理學(xué)中最強(qiáng)大的公式以字母S開始，這個符號表示稱為積分的總和。緊接著出現(xiàn)的第二個S，代表一種稱為作用量的量。這兩個S共同構(gòu)成了一個方程的核心，這個方程可以說是迄今為止預(yù)測未來最有效的方式。
(資料圖片)
這個先知般的公式被稱為費(fèi)曼路徑積分。物理學(xué)家們認(rèn)為，它準(zhǔn)確地預(yù)測了任何量子系統(tǒng)的行為，無論是電子、光線還是黑洞。路徑積分已經(jīng)取得了巨大成功，以至于許多物理學(xué)家都認(rèn)為，它是直接窺視現(xiàn)實(shí)本質(zhì)的一扇窗戶。
荷蘭拉德堡大學(xué)的理論物理學(xué)家瑞內(nèi)特·洛爾說：“它是世界的真實(shí)面貌。”
然而，盡管這個方程出現(xiàn)在成千上萬篇物理學(xué)論文中，它更像是一種哲學(xué)
所有道路都通向原點(diǎn)
量子力學(xué)始于1926年，當(dāng)時薛定諤提出了一個描述粒子狀態(tài)隨時間變化的方程。接下來的十年，狄拉克提出了另一種量子世界觀。他的觀點(diǎn)是基于古老的觀念，即事物在從A點(diǎn)到B點(diǎn)時取“最小作用量”的路徑，這條路徑在時間和能量上都是最小的。后來，理查德·費(fèi)曼偶然間發(fā)現(xiàn)了狄拉克的這一成果，并完善了這個想法，并于1948年提出了路徑積分。
這個理念的核心在典型的量子力學(xué)實(shí)驗——雙縫實(shí)驗——中得到了完全的展示。
在雙縫實(shí)驗中，物理學(xué)家將粒子射向一個有兩個縫的屏障，并觀察粒子在屏障后的墻壁上的落點(diǎn)。如果粒子像子彈一樣，它們會在每個縫后形成一個相同形狀的聚集體。然而，粒子卻在背后的墻上形成重復(fù)的條紋落點(diǎn)。實(shí)驗表明，通過縫隙的是一種代表粒子可能位置的波。兩個即將出現(xiàn)的波前相互干涉，產(chǎn)生一系列可能被檢測到的粒子的峰值。
在雙縫實(shí)驗中，波同時通過兩個狹縫并在另一側(cè)與自身發(fā)生干涉。波代表了粒子可能的位置，白色顯示了它最有可能被檢測到的位置。（視頻來源：Alexander Gustafsson）
干涉圖案是一個極其奇怪的結(jié)果，因為它意味著粒子的兩條可能路徑在物理上都是真實(shí)存在的。
路徑積分假設(shè)，即使沒有屏障或縫隙，粒子的行為仍然如此。首先，想象在屏障上切割第三個縫隙。遠(yuǎn)處墻上的干涉圖案將會變化，以反映新的可能路徑。接著繼續(xù)切割縫隙，直到屏障變成全是縫隙。最后，用全是縫隙的“屏障”填充剩余的空間。從某種意義上說，一個射入這個空間的粒子，會通過所有縫隙的所有路徑——甚至是迂回曲折的奇異路徑——到達(dá)遠(yuǎn)處的墻壁。然后，當(dāng)這些選項被正確地相加時，所有這些可能性就會得到總和，最終產(chǎn)生你所期望的結(jié)果：遠(yuǎn)處墻上的一個亮點(diǎn)。
這是一個許多物理學(xué)家都認(rèn)真對待的激進(jìn)量子行為觀點(diǎn)。“我認(rèn)為它完全是真實(shí)的。”蒙特利爾大學(xué)的物理學(xué)家理查德·麥肯齊說。
可是，無限多條曲線路徑如何能相加得到一條直線呢？簡略來說，費(fèi)曼的方案是對每條路徑進(jìn)行計算其作用量，然后從中得到一個稱為振幅的數(shù)值，該數(shù)值告訴你粒子沿該路徑行進(jìn)的可能性有多大。然后將所有的振幅相加，得到從這里到那里的粒子的總振幅，也就是所有路徑的積分。
從直觀上來看，彎曲的路徑和直線路徑可能性一樣大，因為任何單獨(dú)路徑的振幅都相同。然而，這里至關(guān)重要的是，振幅是復(fù)數(shù)。實(shí)數(shù)是線條上的點(diǎn)，而復(fù)數(shù)則像箭頭一樣。這些箭頭指向不同的方向，代表不同路徑。指向相反方向的兩個箭頭和為零。
結(jié)果是，對于穿越空間的粒子來說，接近直線的路徑的振幅基本上都指向同一個方向，且相互放大。而彎曲路徑的振幅則指向各個方向，且相互抵消。只有直線路徑保留下來，這表明，最小作用原理的單一經(jīng)典路徑是如何從無窮多個量子選擇中產(chǎn)生的。
費(fèi)曼證明了他的路徑積分與薛定諤方程是等效的。費(fèi)曼方法的好處在于，它對如何處理量子世界提供了更直觀的說明：加總所有可能性。
波紋的總和
物理學(xué)家很快意識到，粒子是量子場的激發(fā)，即在每個點(diǎn)上填充空間的實(shí)體。粒子可能沿著不同路徑在不同位置之間移動，而場則可能在不同地方以不同方式產(chǎn)生波動。
幸運(yùn)的是，路徑積分對于量子場也適用。“該做什么是顯而易見的，”康涅狄格大學(xué)的粒子物理學(xué)家杰拉爾德·鄧恩說。“不要對所有路徑求和，而是對所有場進(jìn)行加總。”你確定場的初始和最終位置，然后考慮將它們連接起來的每一段歷史。
歐洲核子研究中心（CERN）的禮品店出售一款咖啡杯，上面印有一種計算已知量子場作用的公式。（圖片來源：CERN）
1949年，費(fèi)曼本人借助路徑積分來發(fā)展了電磁場的量子理論。其他人則研究如何計算代表其他力和粒子的場的作用量和振幅。當(dāng)現(xiàn)代物理學(xué)家預(yù)測歐洲大型強(qiáng)子對撞機(jī)中碰撞的結(jié)果時，路徑積分是這些計算的基礎(chǔ)。
“這絕對是量子物理學(xué)的基礎(chǔ)。”鄧恩說。
盡管路徑積分在物理學(xué)中取得了勝利，但它讓數(shù)學(xué)家感到不安。即使是一個簡單的粒子在空間中運(yùn)動，也有無限多條可能的路徑。而場則更加復(fù)雜，其值在無限多個地方可以以無限多種方式變化。物理學(xué)家有聰明的技巧來應(yīng)對這堆無限的問題，但數(shù)學(xué)家認(rèn)為，積分誕生的初衷，并不是應(yīng)用在這樣一個無限的環(huán)境中。
“這就像黑魔法。”在中國揚(yáng)州大學(xué)從事理論物理學(xué)研究、擁有數(shù)學(xué)背景的研究員王元君說道。“數(shù)學(xué)家不習(xí)慣處理那些不清楚到底發(fā)生了什么的事情。”
然而，它能夠獲得毫無爭議的結(jié)果。物理學(xué)家甚至成功估算出強(qiáng)力的路徑積分，強(qiáng)力是一種極其復(fù)雜的相互作用，使原子核中的粒子保持在一起。他們主要采用了兩種技巧：首先，他們將時間設(shè)為虛數(shù)，這是一種奇特的技巧，將振幅轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)。然后，他們將無限的時空連續(xù)體近似為一個有限的網(wǎng)格。采用這種“晶格”量子場論方法的研究者可以利用路徑積分計算感受到強(qiáng)力作用的質(zhì)子和其他粒子的性質(zhì)，從而得到與實(shí)驗相符的可靠答案。
時空等于什么的總和？
然而，基本物理學(xué)中最大的謎團(tuán)卻超出了實(shí)驗的范疇。物理學(xué)家希望理解引力的量子起源。1915年，愛因斯坦將引力重新解釋為空間和時間結(jié)構(gòu)中彎曲的結(jié)果。他的理論表明，量尺的長度和時鐘的滴答聲會隨著地點(diǎn)的變化而變化——換句話說，時空是一個可塑的場。其他場具有量子性質(zhì)，因此大多數(shù)物理學(xué)家認(rèn)為，時空也應(yīng)具有量子性質(zhì)，并且路徑積分應(yīng)該能夠捕捉到這種行為。
英國物理學(xué)家保羅·狄拉克（左）在1933 年以一種考慮粒子的整個歷史或路徑，而不是其瞬間演化的方式重新構(gòu)建了量子力學(xué)。美國物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼（右）接受了這個想法并付諸實(shí)踐，于 1948 年發(fā)展了路徑積分理論。圖片來源：南德意志報圖片/Alamy（左）；Estate of Francis Bello/Science Source（右）
費(fèi)曼的哲學(xué)很明確：物理學(xué)家應(yīng)該對時空的所有可能形狀進(jìn)行求和。但是當(dāng)我們考慮時空的形狀時，到底有哪些可能性呢？
例如，時空可能分裂，將一個位置與另一個位置分開；或者它可能被將各個位置連接起來的管道所穿透，比如蟲洞。愛因斯坦的方程允許奇特形狀的存在，但不允許導(dǎo)致這些奇特形狀的變化；撕裂或合并會違反因果性并引發(fā)時間旅行的悖論。不過，沒有人知道時空和引力在量子層面上是否會進(jìn)行更大膽的活動，因此物理學(xué)家也不確定是否應(yīng)該將帶有蟲洞的時空納入“引力路徑積分”中。
有一派物理學(xué)家認(rèn)為應(yīng)該將所有一切都納入其中。例如，斯蒂芬·霍金支持一種路徑積分，它可以容納裂縫、蟲洞、甜甜圈和其他空間形狀之間的瘋狂“拓?fù)洹弊兓Ｋ揽刻摂?shù)技巧來簡化數(shù)學(xué)計算：將時間變?yōu)樘摂?shù)實(shí)際上將其轉(zhuǎn)化為另一個空間維度。在這樣一個永恒的舞臺上，充滿蟲洞或撕裂的宇宙不會破壞因果關(guān)系。霍金利用這種永恒的“歐幾里得”路徑積分來論證時間從大爆炸開始，并計算黑洞內(nèi)部的時空構(gòu)建塊。最近，研究人員利用這種歐幾里得方法論證了信息從瀕臨消失的黑洞中泄漏出來的情況。
杜倫大學(xué)的量子引力理論學(xué)家西蒙·羅斯說，這“似乎是更豐富的觀點(diǎn)”。 “涵蓋所有拓?fù)涞囊β窂椒e分具有一些我們尚未完全理解的美妙特性。”
但更豐富的視角是有代價的。一些物理學(xué)家不喜歡移除現(xiàn)實(shí)中的承載元素，如時間。“歐幾里德路徑積分‘真的是非常不物理學(xué)’。”洛爾說。
她所屬的那一派物理學(xué)家努力讓時間納入路徑積分，將其置于我們熟悉和喜愛的時空中，在這個時空中，因果關(guān)系被嚴(yán)格遵循。在花了數(shù)年時間開發(fā)方法來近似這更強(qiáng)大的路徑積分后，洛爾發(fā)現(xiàn)了這種方法可行的跡象。例如，在一篇論文中，她和合著者將一堆標(biāo)準(zhǔn)的時空形狀相加，并得到了類似于我們的宇宙的東西——粒子在其中以直線方式移動的時空等價物。
其他人正在推進(jìn)時空和重力的永恒路徑積分，包括所有拓?fù)渥兓?/strong>2019年，研究人員嚴(yán)格定義了二維宇宙的完整積分——而不僅僅是近似值，但使用的數(shù)學(xué)工具進(jìn)一步混淆了其物理意義。這樣的工作讓物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家更加相信，路徑積分的力量仍有待開發(fā)。“也許我們還沒有明確定義什么是路徑積分。”王元君說，“但從根本上說，我認(rèn)為這只是時間問題。”
